VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2014

Введение. Со времени своего открытия явления переходного и дифракционного излучения привлекают неослабевающее внимание исследователей во всем мире. Такой интерес к данной проблематике связан как с красотой физического явления, так и многообразными возможностями практических применений, связанных с детектированием частиц и мониторингом пучков. В частности, явление дифракционного и переходного излучения широко используется в экспериментальной физике для детектирования заряженных частиц, а также при создании новых источников излучения. При этом, однако, как правило, рассматривается переходное излучение на плоскопараллельной диэлектрической пластине или стопке таких пластин, поскольку задача об излучении в таких условиях допускает точное решение. Вместе с тем, в последние годы было показано, что характеристики переходного (и родственного ему дифракционного) излучения могут существенно зависеть от деталей геометрии мишени. Этими обстоятельствами и обусловлена актуальность выбранной темы исследования.

Целью настоящей работы является исследование дифракционного и переходного излучения, возникающего при пролёте нерелятивистской заряженной частицы мимо проводящей сферы.

Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

- вычисление спектрально-угловой плотности дифракционного излучения, возникающего при пролёте нерелятивистской заряженной частицы мимо проводящей сферы;

- вычисление спектрально-угловой плотности переходного излучения при скользящем падении нерелятивистской заряженной частицы на проводящую сферу;

- обсуждение пределов применимости полученных результатов.

Новизна метода состоит в использовании так называемого метода отражений, известного в электростатике. Данный подход позволяет получить точное аналитическое решение данной задачи.

Излучение равномерно движущегося заряда на сфере. Постановка задачи. Рассмотрим излучение, возникающее при прямолинейном равномерном движении нерелятивистской заряженной частицы вблизи идеально проводящей сферы. Если прицельный параметр траектории частицы больше радиуса сферы, b > R, так что траектория частицы не пересекает поверхность сферы, возникающее излучение принято называть дифракционным. Если же прицельный параметр меньше радиуса сферы, b < R, так что траектория частицы пересекает поверхность сферы, возникающее излучение принято называть переходным.

С макроскопической точки зрения, причина возникновения этих типов излучения состоит в том, что в случае движущегося заряда удовлетворить условиям для электрического поля на границах неоднородностей невозможно, не добавляя в общее решение уравнений Максвелла решение свободных уравнений, то есть электромагнитные волны, составляющие поле излучения.

С другой стороны, в некоторых простых ситуациях найти решение, удовлетворяющее граничным условиям, можно с помощью искусственных методов, основанных на теореме единственности. В частности, электрическое поле точечного заряда, находящегося вблизи идеально проводящей плоскости, может быть представлено в виде суперпозиции кулоновских полей исходного заряда и фиктивного заряда противоположного знака, расположенного симметрично исходному относительно плоскости. При этом тангенциальная компонента суммарного поля на поверхности проводника будет равна нулю, как того и требуют граничные условия. Уравнения поля также будут удовлетворены. Таким образом, согласно теореме единственности, искомое поле в полупространстве, в котором помещен реальный заряд, будет описываться полем системы, состоящей из реального и фиктивного заряда. Метод решения задач электростатики, основанный на описанных соображениях, известен как метод изображений [1]. Именно метод изображений применили В.Л. Гинзбург и И.М. Франк при рассмотрении излучения, возникающего при падении равномерно движущегося заряда на идеально проводящую плоскость [2].

Из электростатики известно также, что введением фиктивных зарядов можно удовлетворить граничным условиям на поверхности идеально проводящей сферы [1, 3]. Соответствующий метод решения задач получил название метода отражений. Напомним основные результаты этого метода.

Электрическое поле, создаваемое точечным зарядом , помещенным на расстоянии от центра идеально проводящей заземленной сферы радиуса R оказывается (в наружной области сферы) эквивалентным суперпозиции кулоновских полей заряда и фиктивного заряда e , помещенного на прямой, соединяющей реальный заряд и центр сферы, на расстоянии r от центра сферы (рис. 1.1), причем

(1.1)

Легко проверить, что в этом случае потенциал, создаваемый двумя зарядами на поверхности сферы, будет равен нулю. В случае не заземленной, а изолированной сферы следует добавить еще фиктивный заряд величиной −e в центр сферы.

Рис. 1.1. К методу отражений: положения реального заряда и его «отражения» e относительно заземленной проводящей сферы радиуса R.

Если заряд будет двигаться с постоянной скоростью, то фиктивный заряд e (величина которого будет теперь зависеть от времени) будет совершать ускоренное движение. Поэтому дифракционное излучение заряда , пролетающего с постоянной скоростью мимо сферы, можно описать как тормозное излучение фиктивного заряда.

Дифракционное излучение нерелятивистского заряда на проводящей сфере. Введем систему координат, в которой начало координат совпадает с центром сферы, ось z направлена вдоль скорости налетающей частицы , а ось x лежит в плоскости, содержащей траекторию налетающей частицы и центр сферы (рис. 2.1), так что расстояние между пролетающей частицей и центром сферы будет равно

,

где момент времени t = 0 соответствует наибольшему сближению частицы с центром сферы.

Рис. 2.1. Заряд , пролетающий мимо сферы под прицельным параметром b, и его «отражение».

Координаты фиктивного заряда определяются соотношениями

, ,

где

, .

Тогда, согласно (1.1), величина и координаты фиктивного заряда будут определяться соотношениями

, , (2.1)

Излучение, возникающее при движении фиктивного заряда, будет описываться известной формулой (см., например, [4])

, (2.2)

где — волновой вектор излученной волны и

. (2.3)

Обычно эту формулу приводят для случая частицы с постоянным зарядом, но легко проверить, что она обобщается и на случай переменной величины заряда.

Компоненты скорости фиктивного заряда, согласно (2.1), будут равны

, (2.4)

Подстановка (2.1) и (2.4) в (2.3) дает следующие выражения для компонент вектора :

, (2.5)

. (2.6)

Учитывая, что || = ω/c, для нерелятивистского заряда мы можем пренебречь третьим слагаемым в показателе экспоненты по сравнению с первым.

Тогда остается:

, (2.7)

. (2.8)

Для облегчения вычисления интегралов пренебрежём также вторыми слагаемыми в показателях экспонент (2.7) , (2.8). Полученные при этом формулы, будут точно описывать излучение в плоскости (y, z), когда , и приближённо в остальных случаях.

Справедливость такого приближения будет ограничена областью малых частот (или больших длин волн ). Действительно, первое слагаемое в показателе экспоненты, ωt стремится к нулю при t → 0, в то время как второе слагаемое стремится к отличной от нуля константе. Эта константа должна быть много меньше единицы всюду, особенно там, где |ωt| ≪ 1. Поэтому самое сильное ограничение будет возникать при t = 0 (при наше второе слагаемое будет меньше значения в нуле). Таким образом, мы имеем требование

откуда

или

.

Таким образом,

, (2.9)

. (2.10)

Вычисление интегралов с помощью [5] (стр. 443, № 3.773.3 и № 3.773.6) дает

, (2.11)

. (2.12)

где (x) и (x) — модифицированные функции Бесселя второго рода (функции Макдональда). Подстановка в (2.2) дает

(2.13)

(2.14)

, (2.15)

где - единичный вектор в направлении излучения волны. В формуле (2.15) мы ввели обозначения

, (2.16)

(2.17)

Для вычислений на компьютере, удобно оставить в фигурных скобках в (2.15) лишь безразмерные величины:

. (2.18)

График углового распределения (2.18) представлен на рисунке (2.2).

Интегрируя (2.18) по углам с учетом того, что

,

получим выражение для спектральной плотности излучения

. (2.19)

Мы видим, что характерная область частот определяется неравенством

где — характерные поперечные размеры кулоновского поля движущейся частицы (а точнее, его фурье-компоненты, соответствующей частоте ω) и не зависит от радиуса сферы R.

Рис. 2.2. Угловое распределение дифракционного излучения (величина (dE/dωdΩ)()), рассчитанное по формуле (2.18) , для случая = 0.0001c, b/ = 2.1. На верхнем рисунке распределение представлено в виде графика зависимости от углов излучения θ и , на нижнем — в виде диаграммы направленности.

Переходное излучение нерелятивистского заряда на проводящей сфере. Рассмотрим теперь ситуацию, когда прицельный параметр b налетающей частицы меньше радиуса сферы, так что траектория частицы дважды пересекает поверхность сферы (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Случай b< R, при котором траектория заряда пересекает поверхность сферы.

В этом случае параметры фиктивного заряда будут определяться теми же соотношениями (2.1), (2.4), однако интегрирование по времени в формуле (2.3) и вытекающих из нее (2.9), (2.10) будет осуществляться в пределах от −∞ до − и от до +∞, где ± — моменты времени, в которые налетающий заряд пересекает поверхность сферы, =. В момент времени − фиктивный заряд и заряд налетающей частицы «аннигилируют», а в момент — вновь «рождаются», подобно тому, как это происходит при описании переходного излучения на проводящей плоскости. Поэтому формулы для необходимо дополнить слагаемыми, учитывающими «исчезновение» и «появление» налетающего заряда:

, (3.1)

. (3.2)

Интегралы, возникающие в (3.1), (3.2), аналогичны интегралам в (2.9), (2.10). Однако, если точное вычисление интегралов в (2.9), (2.10) в полубесконечных пределах не представляло труда, то в данном случае из-за наличия отличного от нуля предела интегрирования , оказывается возможным лишь приближённое вычисление в пределе малых (таких, что ), что соответствует случаю «скользящих» столкновений налетающей частицы со сферой. В этом случае мы можем представить (3.1), (3.2) в виде

, (3.3)

. (3.4)

и выполнить в последних слагаемых разложения в ряд по малому параметру

t/b.

Вычисление интегралов приводит к следующему результату

, (3.5)

. (3.6)

где величины и определяются соотношениями (2.16), (2.17),

, (3.7)

, (3.8)

, (3.9)

. (3.10)

Мы видим, что, как и в случае дифракционного излучения (формулы (2.11), (2.12)), величина получилась чисто мнимой, а — чисто вещественной. Подчеркнем, что результаты (3.5), (3.6) справедливы в предельном случае ≪ b/, откуда следует условие .

Спектрально-угловая плотность излучения будет по-прежнему определяться формулой (2.14). Подстановка (3.5), (3.6) дает

(3.11) Мы видим, что угловая зависимость определяется теми же величинами , , что и в предыдущем разделе будут влиять лишь на абсолютный и относительный вклад этих двух комбинаций. Угловые распределения представлены на рис. 3.2, 3.3. Интерпретация этих распределений достаточно проста: величина создает тор вокруг оси x, а величина — такой же тор вокруг оси z. Результирующее распределение представляет собой сумму этих двух вкладов, причем, в зависимости от конкретных параметров, соотношение коэффициентов при этих двух величинах может быть различным, как иллюстрируется рисунком 3.3. Рис. 3.3 показывает также, что с ростом R (а значит, уменьшением кривизны поверхности) при прочих неизменных параметрах интенсивность излучения ослабевает.

Рис. 3.2. Угловое распределение переходного излучения (величина (dE/dωdΩ) ), рассчитанное по формуле (3.11), для случая = R, b = 0.999R.

Рис. 3.3. Какое богатство форм: Диаграммы направленности излучения для случая b= 0.8R (на все рисунках), = R, 2R, 3R, 4R, 5R, 6R, 7R, 8R.

Заключение. В работе рассмотрено излучение, возникающее при взаимодействии равномерно движущейся нерелятивистской заряженной частицы с идеально проводящей сферой. Найдена спектрально – угловая плотность дифракционного излучения, возникающего при движении частицы с прицельным параметром, превышающим радиус сферы, а также переходного излучения в случае «скользящего» столкновения, когда прицельный параметр не намного меньше радиуса сферы.Полученные результаты могут быть использованы при разработке новых методов мониторинга пучков заряженных частиц.

Список использованной литературы

[1] Левич В.Г. Курс теоретической физики. Том 1. — М., Наука, 1969. — 912 с.

[2] Гинзбург В.Л., Франк И.М. Излучение равномерно движущегося электрона, возникающее при его переходе из одной среды в другую // ЖЭТФ. — 1946. — Т. 16. — С. 15.

[3] Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Сборник задач по электродинамике. — М., Наука, 1970.

[4] Ахиезер А.И., Шульга Н.Ф. Электродинамика высоких энергий в веществе. — М., Наука, 1993. — 344 с.

[5] Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М.,Наука, 1971. - 1108 с.

Код для цитирования: Скопировать