V Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2013

Введение

Электроэнцефалограмма (ЭЭГ) является в настоящее время одним из основных показателей, которые применяют в дифференциальной психофизиологии для изучения нейродинамического уровня организации индивидуальности человека.

Успех в использовании данного показателя зависит от того, в какой степени он отражает особенности структурно-функциональной организации деятельности мозга, а также от адекватности методов описания ЭЭГ содержательной интерпретации ее нейрофизиологической природы. К сожалению, до сих пор мы не имеем достаточно полных и хорошо обоснованных содержательных моделей ЭЭГ. В значительной степени это обусловлено тем, что используемые методы анализа и моделирования ЭЭГ характеризуют преимущественно частотные аспекты ее феноменологии и не дают целостной картины проявлений данного электрофизиологического показателя.

Широкое применение традиционного спектрального анализа ЭЭГ, было основано на ряде допущений, порожденных в результате визуальных исследований записей ЭЭГ. Центральное допущение состояло в следующем: ЭЭГ включает несколько взаимодействующих друг с другом когерентных гармонических компонентов, а вариативность записей ЭЭГ обусловлена перераспределением энергии между этими компонентами. Поэтому, в ЭЭГ с помощью Фурье-анализа выделяют различные ритмы (альфа, бета, дельта, тета) и исследуют их параметры и конфигурацию.

Однако проводимые исследования последних лет показали, что существуют системы, динамику которых в принципе невозможно описать набором периодических составляющих, так как она содержит нерегулярную, хаотическую компоненту. Анализ таких систем проводится в рамках нелинейной динамики. Применение нелинейно-динамического подхода позволяет оценить, как функционирует исследуемая система: регулярно или нет, если нерегулярно, то в какой степени; а, кроме того - насколько сложна ее динамика.

Уже первые работы по изучению различных биологических ритмов с применением математического аппарата нелинейной динамики показали, что в норме для них характерно наличие нерегулярной компоненты с высокой степенью сложности. Вероятно, это связано с тем, что такая динамика дает много функциональных преимуществ, так как хаотические системы способны работать в широком диапазоне условий и поэтому легко адаптируются к изменениям. Такая пластичность позволяет им удовлетворять требованиям постоянно меняющейся внешней среды. С другой стороны, при многих патологических состояниях и при старении организма проявляется четко выраженная периодичность, сопровождающаяся снижением степени хаотичности и степени сложности динамики изучаемых параметров.

Вышесказанное объясняет пристальный интерес исследователей к методам анализа биологических систем, позволяющим оценить степень сложности и нерегулярности динамики параметров, описывающих такие системы. Особенно актуально применение такого подхода в электроэнцефалографических исследованиях, так как регистрация ЭЭГ в настоящее время является наиболее доступным и распространенным методом объективного изучения деятельности мозга человека.

Целью работы является исследование свойств и возможности применения геометрического метода к обработке вызванных потенциалов электроэнцефалограммы.

1. Описание моделируемого процесса

Электроэнцефалография (от греч. enkephalos - головной мозг) – метод исследования деятельности головного мозга животных и человека; основан на суммарной регистрации биоэлектрической активности отдельных зон, областей, долей мозга. Электроэнцефалография применяется в современной нейрофизиологии, а также в нейропатологии и психиатрии.

Электрическая активность мозга мала и выражается в миллионных долях вольта; её можно зарегистрировать лишь при помощи специальных высокочувствительных приборов и усилителей, которые называются электроэнцефалографами.

Для регистрации сигналов электроэнцефалографа на поверхность черепа накладываются металлические пластинки (электроды), которые соединяются проводами с входом аппарата. На выходе его получается графическое изображение колебаний разности биоэлектрических потенциалов живого мозга, называемое электроэнцефалограммой (ЭЭГ). ЭЭГ отражает динамику функционирования сложных мозговых структур, т. е. синаптические процессы, развивающиеся на теле и дендритах нейронов коры головного мозга. ЭЭГ - сложная кривая, состоящая из волн различных частот (периодов) с меняющимися фазовыми отношениями и разными амплитудами. В зависимости от амплитуды и частоты на ЭЭГ различают волны, обозначаемые греческими буквами "альфа", "бета", "дельта" и др.

Существуют два способа отведения биопотенциалов: монополярный и биполярный. При биполярном способе оба электрода, позволяющие записать разность потенциалов с определенных участков, укрепляют непосредственно на поверхности головы (активные электроды), а при монополярном способе активный электрод укрепляют на голове, а другой (индифферентный) устанавливают чаще всего на мочке уха. Обычно применяют отведения от симметричных точек затылочных, теменных, переднетеменных (центральных) лобных и височных областей. При исследовании больной должен находиться в положении лежа, с расслабленными мышцами, закрытыми глазами. Предварительно необходима адаптация к необычной обстановке. В норме у взрослого человека регистрируются спонтанные колебания двух типов: альфа- и бета-ритм. Альфа-ритм-колебания частотой от 8 до 12 Гц в секунду, амплитудой от 20 до 100 мкВ, относительно правильные по форме, регулярные. В зависимости от физиологического состояния (сон и бодрствование, восприятие зрительных или слуховых сигналов, разнообразные эмоции и т. п.) ЭЭГ у здорового человека могут различаться [2].

2. Концептуальная постановка задачи

Электроэнцефалограмма (ЭЭГ) является достаточно информативным показателем локальных и общих физиологических и патологических перестроек функционального состояния мозга человека [1].

К настоящему времени разработано большое количество методов анализа электроэнцефалографических данных, однако, практически все они имеют в своей основе одну общую черту. Это общее качество можно описать одним словом - "Фурье-анализ". Такое положение вещей не случайно - ведь математический аппарат обработки сигнала ЭЭГ заимствован из теории колебаний, а в этой физической дисциплине господствует утверждение, что любое колебание можно описать конечной суммой периодических составляющих (гармоник) с разными частотой и амплитудой. Поэтому, в ЭЭГ с помощью Фурье-анализа выделяют различные ритмы (альфа-, бета-, дельта-, тета- и другие) и исследуют их параметры и конфигурацию.

Такой подход оказался достаточно плодотворным при изучении целого ряда изменений функционирования мозга. Так, например, он позволяет достаточно надежно определить наличие опухоли головного мозга уже на начальных этапах ее формирования, установить локализацию очага эпиактивности, диагностировать воспалительный процесс или посттравматические изменения в мозге. Другими словами, традиционные методы анализа ЭЭГ предоставляют широкий спектр возможностей для изучения органических поражений головного мозга человека.

Менее информативным, данный подход оказывается при исследовании функциональных изменений в деятельности мозга, поскольку количественные и качественные изменения периодических составляющих (ритмов) ЭЭГ в этих случаях менее значительны и обширны.

С вышесказанным связана актуальность поиска альтернативных, более тонких и точных методов анализа ЭЭГ, которые позволили бы как фиксировать функциональные, так и более дифференцированно описывать органические изменения в работе мозга с учетом сильной индивидуальной вариабельности сигнала ЭЭГ.

Проводимые исследования последних лет показали, что существуют системы, динамику которых в принципе невозможно описать набором периодических составляющих, так как они содержат нерегулярную, хаотическую компоненту. Кажущийся парадокс состоит в том, что этот хаос детерминирован - порожден определенными правилами, которые сами по себе не включают никаких элементов случайности. Анализ таких систем проводится в рамках нелинейной динамики. Применение нелинейно-динамического подхода позволяет оценить, как функционирует исследуемая система: регулярно или нет, если нерегулярно, то в какой степени; а, кроме того - насколько сложна ее динамика.

Работы по изучению различных биологических ритмов с применением математического аппарата нелинейной динамики показали, что в норме для них характерно наличие нерегулярной компоненты с высокой степенью сложности. По мнению ряда авторов, это связано с тем, что такая динамика дает много функциональных преимуществ, так как хаотические системы способны работать в широком диапазоне условий и поэтому легко адаптируются к изменениям. Эта пластичность позволяет им удовлетворять требованиям постоянно меняющейся внешней среды. С другой стороны, при многих патологических состояниях или при старении организма проявляется четко выраженная периодичность, сопровождающаяся снижением степени хаотичности и степени сложности динамики изучаемых параметров.

Таким образом, рассматривая сигнал ЭЭГ с точки зрения детерминированного хаоса, необходимо на модельных сигналах, а затем и на реальных данных, исследовать возможность применения геометрического метода для обработки и анализа электроэнцефалограмм.

3. Математическая постановка задачи

На участке конечной длины L задана некоторая функция y_i = f(t_i) своими n значениями y₀,y₁, y₂, …, yn_-1для соответствующих равноотстоящих значений аргумента t₀, t₁, t₂, …, tn_-1.

Необходимо:

• построить фазовый портрет методом задержки;

• построить многоугольник, охватывающий фазовый портрет;

• построить аппроксимирующий эллипс вокруг многоугольника;

• найти площадь многоугольника и параметры эллипса: размеры большой и малой полуосей, площадь, сдвиг центра относительно начала координат, угол наклона большой полуоси к оси абсцисс, коэффициент эксцентриситета.

4. Выбор и обоснование метода решения

4.1. Анализ электроэнцефалограмм с позиции нелинейной динамики

Большинство разработанных к настоящему времени методов анализа электроэнцефалографических данных имеют в своей основе одну общую черту, которую можно описать одним словом - "Фурье-анализ". Такое положение вещей можно объяснить тем, что математический аппарат обработки сигнала ЭЭГ заимствован из теории колебаний, а в этой физической дисциплине господствует утверждение, что любое колебание можно описать конечной суммой периодических составляющих (гармоник) с различной частотой и амплитудой. Поэтому в сигнале ЭЭГ с помощью Фурье-анализа выделяют различные ритмы и исследуют их параметры и конфигурацию.

Такой подход оказался достаточно плодотворным при изучении целого ряда изменений функционирования мозга. Так, например, он позволяет достаточно надежно определить наличие опухоли головного мозга уже на начальных этапах ее формирования, установить локализацию очага эпиактивности, диагностировать воспалительный процесс или посттравматические изменения в мозге. Другими словами, традиционные методы анализа ЭЭГ предоставляют широкий спектр возможностей для изучения органических поражений головного мозга человека.

Менее информативным, на наш взгляд, данный подход оказывается при исследовании функциональных изменений в деятельности мозга, поскольку количественные и качественные изменения периодических составляющих (ритмов) ЭЭГ в этих случаях менее значительны и обширны.

С вышесказанным связана актуальность поиска альтернативных, более тонких и точных методов анализа ЭЭГ, которые позволили бы как фиксировать функциональные, так и более дифференцированно описывать органические изменения в работе мозга с учетом сильной индивидуальной вариабельности сигнала ЭЭГ.

С другой стороны, следует отметить, что спектральные и корреляционные методы обработки ЭЭГ, широко применяемые в настоящее время, являются линейными и, на взгляд некоторых исследователей, не вполне соответствуют объекту исследования. Известно, что ЭЭГ представляет собой совокупность результатов деятельности большого количества отдельных нейронов, связанных между собой. Однако нейроны по своей природе не линейны, и взаимодействие между ними происходит по нелинейным законам. Это означает, что для исследуемого объекта не выполняется принцип суперпозиции, который в обобщённом виде можно сформулировать так: реакция на сумму воздействий не равна сумме реакций на каждое воздействие по отдельности.

Проводимые исследования последних лет показали, что существуют системы, динамику которых в принципе невозможно описать набором периодических составляющих, так как они содержат нерегулярную, хаотическую компоненту. Кажущийся парадокс состоит в том, что этот хаос детерминирован - порожден определенными правилами, которые сами по себе не включают никаких элементов случайности. Анализ таких систем проводится в рамках нелинейной динамики. Применение нелинейно-динамического подхода позволяет оценить, как функционирует исследуемая система: регулярно или нет, если нерегулярно, то в какой степени; а, кроме того - насколько сложна ее динамика.

Уже первые работы по изучению различных биологических ритмов с применением математического аппарата нелинейной динамики показали, что в норме для них характерно наличие нерегулярной компоненты с высокой степенью сложности. Вероятно, это связано с тем, что такая динамика дает много функциональных преимуществ, так как хаотические системы способны работать в широком диапазоне условий и поэтому легко адаптируются к изменениям. Такая пластичность позволяет им удовлетворять требованиям постоянно меняющейся внешней среды. С другой стороны, при многих патологических состояниях и при старении организма проявляется четко выраженная периодичность, сопровождающаяся снижением степени хаотичности и степени сложности динамики изучаемых параметров.

4.2. Метод задержек и типы фазовых портретов

Динамику системы можно наблюдать в пространстве состояний, или фазовом пространстве. Т.е. в абстрактном пространстве, координаты которого выбираются исходя из контекста: в случае механической системы это могут быть положение и скорость, в случае модели "хищник - жертва" - популяции различных биологических видов и так далее.

В процессе функционирования системы вектор переменных состояния, изменяясь во времени, описывает определенную траекторию в фазовом пространстве.

Характер фазовых траекторий отражает общие качественные черты поведения системы во времени. Особенно успешно фазовое представление используется для обработки скалярных наблюдений, которым в частности является сигнал ЭЭГ. В этом смысле фазовая плоскость, разбитая на траектории, дает легко обозримый «портрет» системы. Она позволяет сразу охватить всю совокупность возможных движений, отвечающих различным начальным условиям. Существует так называемый «метод задержек», с помощью которого можно реконструировать фазовый портрет системы, информация о которой представлена в виде дискретного ряда значений одной переменной.

Рассмотрим метод задержек более подробно. Предположим, что ряд из одиннадцати значений переменной Y, взятых через равные промежутки времени, описывает динамику какой-либо системы. При построении графика динамики по оси абсцисс откладываются значения времени, а по оси ординат - значения переменной y_i (рис. 1, а). Для реконструкции фазового портрета (ФП) исследуемой системы по оси абсцисс отложим переменную y_i, а по оси ординат - ту же переменную, но со сдвигом - y_i+1 (рис. 1, б).

а) б)

Рис. 1. Принципы реконструкции фазового портрета:

а) график динамики системы; б) фазовый портрет системы

Подобным образом строится трехмерный и, в общем случае, n-мерный фазовый портрет динамики системы.

Анализ фазового портрета позволяет определить тип динамики системы со скалярными наблюдениями. Для этого отыскивают аттрактор - область, которая "притягивает" к себе траектории движения точек в фазовом пространстве. Простейшим аттрактором является фиксированная точка. Он описывает систему, которая эволюционирует к одному единственному состоянию (рис. 2, а). Другой вариант аттрактора - предельный цикл. Он соответствует системе, стремящейся к периодическому состоянию. На фазовой плоскости, вблизи предельного цикла, траектории следуют по регулярной кривой, окружности, эллипсу или тору (рис. 2, б). Третий тип аттрактора называется «странный аттрактор» (рис. 2, в). На фазовой плоскости, вблизи странного аттрактора, две траектории, начавшиеся при почти идентичных условиях, уже через короткое время расходятся, а через значительное время будут совершенно отличаться друг от друга. Система, описываемая странным аттрактором, является хаотичной.

а)

б)

в)

Рис. 2. Типы фазовых портретов

а) фиксированная точка; б) предельный цикл; в) странный аттрактор

4.3. Геометрический метод анализа ЭЭГ

При геометрическом методе анализа ЭЭГ полученный фазовый портрет аппроксимируется какой-нибудь геометрической фигурой (эллипсом, параллелограммом, многоугольником), а затем производится анализ её параметров, прежде всего, площади.

В данной работе используется эллипс, т.к. при его использовании помимо площади можно анализировать такие параметры, как размер полуосей, коэффициент эксцентриситета, угол наклона большой полуоси относительно оси абсцисс, а также сдвиг центра эллипса относительно начала координат.

Однако в ходе исследований было замечено, что при таком способе аппроксимации большая часть описывающего эллипса охватывает пустое фазовое пространство, а некоторые точки остаются за его пределами. Соответственно, величины параметров эллипса в таких случаях несут искаженную информацию о фазовом портрете. Для решения возникшей проблемы в данной работе эллипс строится вокруг описывающего многоугольника.

R α a Точкиописывающегомногоугольника y(t) y(t+τ)

Рис. 3. Пример аппроксимации фазового портрета сигнала ЭЭГ с помощью описывающего эллипса. Здесь a и b – большая и малая полуоси эллипса, R – сдвиг центра эллипса относительно начала координат, α – угол наклона первой полуоси эллипса относительно оси абсцисс, τ – время спада автокорреляционной функции до нуля.

5. Описание алгоритма решения задачи

Суть алгоритма построения описывающего многоугольника заключается в том, что, стартовав из начальной точки, перебираются все точки справа, а затем и слева от текущей, и среди них находятся такие, касательная к которым будет отклоняться на максимальный угол. Как только такая точка находится, текущая точка сохраняется в память, а найденная становится текущей. И так продолжается, пока мы не переберем все точки. Подробная блок-схема построения описывающего многоугольника приведена на рис. 4.

Далее рассмотрим пошаговый алгоритм построения аппроксимирующего эллипса:

1. Определяются четыре крайние точки:

• С максимальной координатой по оси Y – I(x₁,y₁);

• С минимальной координатой по оси Y – II(x_2,y₂);

• С максимальной координатой по оси X – III(x₃,y₃);

• С максимальной координатой по оси X – IV(x₄,y₄)

1. Центр эллипса определяется как точка С, равноудалённая от крайних точек:

X_c = (x₃+x₄)/2, Y_c = (y₃+y₄)/2.

1. Определяется первая полуось эллипса.

3.1. Вычисляется максимально удалённая от начала координат точка:

, i = 1,…, N, где N – количество точек в облаке.

Прямая y₁, соединяющая эти две точки, будет первой полуосью эллипса.

1.  

   1. Вычисляются параметры прямой, являющейся первой полуосью эллипса:

y = a₁∙x+b₁, где a₁ будет углом наклона оси эллипса.

3.3. Вычисляется размер первой полуоси эллипса а, как расстояние между точками I и С.

3.4. Определяется перпендикулярная первой полуоси прямая y₂, проходящая через центр эллипса. Вычисляются её параметры a₂, b₂.

3.5. Определяется максимально удалённая от первой полуоси и центра точка В. Она будет являться точкой, через которую пройдёт эллипс.

3.6. Определяется новое начало координат, смещённое в центр эллипса и повёрнутое на угол поворота эллипса. Подставляя в уравнение эллипса значение первой полуоси и координаты точки (в новой системе координат), вычисляют значение второй полуоси b.

3.7. Аппроксимируется эллипс по полученному уравнению в новой системе координат.

3.8. Вычисляется размер площади аппроксимирующего эллипса, как

S = πab

Рис. 4. Блок-схема алгоритма построения аппроксимирующего многоугольника

6. Выбор программной среды

Особое место среди систем автоматизации математических расчетов занимает пакет MATHCAD. Это наиболее мощная интегрированная система автоматизации математических расчетов, широко распространенная в России.

Отличительная черта этой системы – входной язык, максимально приближенный к математическому языку или языку научных статей и книг. Объединение в этой системе текстового редактора с возможностью использования общепринятого языка позволяет пользователю получить готовый итоговый документ. MATHCAD столь же гибок, как самые мощные электронные таблицы и языки программирования, но легок в освоении и приятен в использовании. Система MATHCAD содержит текстовый редактор, мощный графопостроитель и графический процессор.

Текстовый редактор служит для ввода и редактирования текстов. Текст может состоять из слов, математических выражений и формул, спецзнаков.

Вычислитель обладает уникальными возможностями:

• обеспечивает вычисления по сложным математическим формулам;

• имеет большой набор встроенных математических функций;

• позволяет вычислять ряды, суммы и произведения, определенные интегралы и производные;

• работать с комплексными числами;

• решать линейные и нелинейные уравнения;

• выполнять векторные и матричные операции.

В вычислитель входят и такие мощные средства как линейная и сплайн-интерполяция, регрессия, прямое и обратное быстрое преобразование Фурье.

Легко можно менять разрядность чисел и погрешность итерационных методов.

MATHCAD позволяет записывать на экране компьютера формулы в их привычном виде. Но формулы в MATHCAD могут значительно больше, чем просто хорошо выглядеть. С их помощью можно решить почти любую мыслимую математическую задачу символьно либо численно. Можно реализовать текст в любых местах вокруг уравнений, чтобы документировать процесс решения.

Графический процессор служит для создания графиков. Графический процессор сочетает чрезвычайную простоту общения с пользователем с самыми изысканными возможностями графических средств. Простые графики нескольких функций пользователь может начать строить буквально в первые секунды знакомства с системой. По мере приобретения навыков работы с графическим процессором легко осваиваются и другие графические средства – графики в логарифмическом масштабе, масштабные сетки с любым числом делений, линии, отмеченные точками, прямоугольниками и ромбиками. Графика ориентирована на решение типичных математических задач. Возможно быстрое изменение размеров графиков, наложение их на текстовые надписи и перемещение в любое место документа. Можно создавать двумерные и трехмерные графики. Можно пользоваться иллюстрациями из других приложений Windows.

Значительным достоинствомMATHCAD для многих может оказаться его очень невысокая требовательность к машинным ресурсам. Так, самую современную версию MATHCAD можно установить даже на скромный Pentium 90 c 8 Mb оперативной памяти. И в основном никаких проблем при вычислениях это не создаст.

7. Проведение исследований, результаты и их анализ

7.1 Исследование геометрического метода на модельном сигнале

Прежде, чем начать обработку реальных сигналов ЭЭГ, проведем исследование геометрического метода на модельных сигналах. Цель исследования – изучение поведения параметров описывающего эллипса на различных сигналах с известными параметрами. Это нужно для того, чтобы впоследствии при обработке реализаций ЭЭГ, уметь интерпретировать получаемые результаты.

7.1.1 Зависимость от амплитуды, частоты и сдвига фазы

Зададим исследуемый сигнал в виде функции

f(t) = A∙sin(2πω_xt + φ),

где А = 80, ω_x = 9, φ = π.

Посмотрим, как изменяются параметры описывающего эллипса при изменении амплитуды, частоты и фазы исходного сигнала.

Таблица 1. Зависимость параметров описывающего эллипса от амплитуды сигнала

Амплитуда сигнала, [усл.ед.]	Параметры эллипса
	a			R	α1	k
A/4	20.495	18.52	1.192*103	-6.661*10-14	-0.785	0.904
A/3	27.327	24.693	2.12*103	-8.882*10-14	-0.785	0.904
A/2	40.991	37.04	4.77*103	1.332*10-14	-0.785	0.904
A=80	81.981	74.079	1.908*104	2.665*10-14	-0.785	0.904
2*A	163.962	148.159	7.632*104	5.329*10-14	-0.785	0.904
3*A	245.943	222.238	1.717*105	-8.171*10-14	-0.785	0.904
4*A	327.924	296.317	3.053*105	-1.066*10-14	-0.785	0.904

Из таблицы 1 видно, что размеры большой и малой полуосей эллипса прямо пропорционально зависят от амплитуды сигнала, что сказывается и на площади. Однако коэффициент эксцентриситета при этом остаётся неизменным, что свидетельствует о равномерном увеличении размеров обеих полуосей.

Данные таблицы 2 показывают, что при уменьшении частоты исследуемого сигнала, коэффициент эксцентриситета приближается к единице, что говорит об увеличении малой полуоси эллипса. Также обратно пропорционально частоте сигнала изменяется и оптимальная задержка, с которой строится фазовый портрет (изменение времени спада автокорреляционной функции до нуля).

Таблица 2. Зависимость параметров описывающего эллипса от частоты сигнала

Частота сигнала, [Гц]	Оптимальнаязадержка τ, [с]	Параметры эллипса
		a			R	α1	k
ωx /4	28	80.22	79.02	2.056*104	1.005	-0.745	0.985
ωx /3	22	80.807	79.171	1.995*104	1.51*10-14	-0.785	0.979
ωx /2	15	80.867	79.883	2.029*104	0.999	-0.788	0.987
ωx =9	8	81.981	74.079	1.908*104	2.665*10-14	-0.785	0.903
2* ωx	4	82.934	75.676	1.947*104	0.977	-0.778	0.912
3* ωx	3	82.934	74.717	1.972*104	0.977	-0.778	0.901
4* ωx	2	83.303	68.261	1.708*104	2.594*10-13	-0.778	0.819

Таблица 3. Зависимость параметров описывающего эллипса от фазы сигнала

Фаза сигнала, [рад.]	Параметры эллипса
	a			R	α1	k
0	82.431	73.752	1.91*104	4.263*10-14	-0.785	0.895
π/10	82.207	70.806	1.829*104	9.592*10-14	-0.776	0.861
2π/10	80.019	80.83	2.032*104	1.863*10-14	-0.773	1.01
3π/10	80.006	80.908	2.034*104	9.803*10-14	-0.761	1.011
4π/10	80.019	80.83	2.032*104	9.802*10-14	-0.773	1.01
5π/10	80.032	80.837	2.032*104	7.96*10-14	-0.761	1.01
6π/10	80.019	80.83	2.032*104	1.862*10-14	-0.773	1.01
7π/10	80.006	80.908	2.034*104	4.419*10-14	-0.761	1.011
8π/10	80.019	80.83	2.032*104	9.802*10-14	-0.773	1.01
9π/10	80.006	80.908	2.034*104	1.151*10-14	-0.761	1.011
π	81.981	74.079	1.908*104	2.665*10-14	-0.785	0.904

Сдвиг фазы сигнала приводит к изменению начального момента регистрации данных, но не влияет на форму и заштрихованность ФП, следовательно, параметры эллипса должны оставаться неизменными. Данные таблицы 3 подтверждают вышеприведенные рассуждения.

7.1.2 Исследование на составном модельном сигнале

Теперь будем усложнять исследуемый сигнал, добавляя в него новые гармонические составляющие.

Зададим

f(t) = f₁(t) + f₂(t) + f₃(t) ;

f₁(t) = A₁∙sin(2πω₁t), f₂(t) = A₂∙sin(2πω₂t), f₃(t) = A₃∙sin(2πω₃t),

где

A₁ = A₂ = A₃ = 80;

ω₁ = 9; ω₂ = 5; ω₃ = 25.

Исходный вид сигналов, а также их фазовые портреты с описывающим эллипсом показаны на рисунках 5 – 7. По рисункам 5 – 7, прежде всего, хочется сказать, что фазовый портрет сразу отражает усложнение сигнала

Таблица 4. Зависимость параметров описывающего эллипса от наличия нескольких различных гармонических составляющих в сигнале

Исходный сигнал	Оптимальнаязадержка τ, [с]	Параметры эллипса
		a			R	α1	k
f(t) = f1(t)	8	82.431	73.752	1.91*104	4.263*10-14	-0.785	0.895
f(t) = f1(t) + f2(t)	10	163.737	154.997	7.97*104	1.084*10-13	-0.785	0.947
f(t) = f1(t) + f2(t) + f3(t)	12	247.405	234.156	1.82*105	2.723*10-13	-1.258	0.946
f(t) = f2(t) + f3(t)	5	156.594	156.151	7.68*104	5.859*10-14	-1.478	0.997
f(t) = f1(t) + f3(t)	4	159.26	152.124	7.61*104	1.183*10-13	-1.237	0.955

Из таблицы 4 видно, что размеры полуосей эллипса увеличиваются с увеличением числа гармонических составляющих сигнала, причем тем сильнее, чем выше частота входящих в сигнал гармоник.

а) б)

Рис. 5. Сигнал f(t) = f₁(t): а) исходный вид; б) фазовый портрет

а) б)

Рис. 6. Сигнал f(t) = f₁(t) + f₂(t): а) исходный вид; б) фазовый портрет

а) б)

Рис. 7. Сигнал f(t) = f₁(t) + f₂(t) + f₃(t): а) исходный вид; б) фазовый портрет

7.2 Применение геометрического метода для обработки реальных данных

После исследования геометрического метода на модельных сигналах перейдем к применению полученных навыков на реальных данных. В данной работе геометрический метод был применен для обработки вызванных потенциалов ЭЭГ группы детей и подростков обоего пола в возрасте от 7 до 15 лет численностью 40 человек, набранной в Томском НИИ Курортологии и физиотерапии. Состояние детей оценивалось при поступлении ребенка на лечение и по окончании курса реабилитации. Для исследований группа была поделена надвое в соответствии с диагнозом ребенка: ожирение (19 человек), аутоиммунный тиреоидит (АИТ, 21 человек).

Для анализа выбирался сигнал вызванного потенциала ЭЭГ с височно-теменного отведения, не содержащий артефактов. Каждый сигнал отображался на «фазовой» плоскости. Таким образом, состояние каждого ребенка в группе характеризовалось 6-ю параметрами: время первого спада автокорреляционной функции до нуля tau, размеры большой и малой полуосей описывающего эллипса – a и b, площадь эллипса – S, сдвиг центра эллипса относительно начала координат – R, коэффициент эксцентриситета (отношение размера малой полуоси к большой) – k.

Затем для каждого параметра была рассчитана медиана и интерквартильный размах в подгруппе детей с определенным заболеванием. Результаты расчетов представлены в таблице 5.

Таблица 5. Медиана и интерквартильный размах характеристик ЭЭГ детей по группам

Параметр	АИТ		ОЖИРЕНИЕ
	до лечения	после лечения	до лечения	после лечения
tau	0.102 ± 0.046	0.142 ±0.057	0.149 ± 0.045	0.124 ± 0.049
a	42.70 ± 9.47	41.20 ± 8.15	44.83 ± 5.09	42.32 ± 4.93
	43.18 ± 5.82	42.70 ± 8.9	49.82 ± 6.64	42.26 ± 5.79
	5983 ± 1172	6132 ± 2509	7187 ± 1499	5901 ± 1393
R	9.76 ± 3.51	7.40 ± 2.32	9.44 ± 2.87	5.35 ± 1.94
k	1.1 ± 0.18	1.07 ± 0.13	1.15 ± 0.17	1.0 ± 0.08

Для лучшего восприятия и облегчения визуального анализа по таблице 1 были построены графики, представленные на рис. 8 а)-е).

а)	б)
в)	г)
д)	е)
Рис. 8. Медиана и интерквартильный размах ЭЭГ до и после лечения по группам: a) время первого спада автокорреляционной функции до нуля; б) размер большой полуоси; в) размер малой полуоси; г) площадь эллипса; д) сдвиг центра эллипса относительно начала координат; е) коэффициент эксцентриситета

Из таблицы и, особенно, из рисунков хорошо видны различия в значениях параметров как между группами детей с различными заболеваниями, так и внутри группы с одним заболеванием до и после лечения. Причем визуальная разница проявляется не только между медианами одного параметра, но и особенно значительно, в размере интерквартильных размахов. Насколько существенны эти различия, мы выясним чуть позже, а пока посмотрим, в чем же они заключаются.

Из рисунка 4.а и 4.б видим, что в обеих группах медианы и интерквартильный размах после лечения почти не изменились, т.е. лечение никак не повлияло на состояние пациентов.

Из рисунка 4.в видим, что в группе АИТ после лечения увеличился интерквартильный размах, а медиана осталась прежней. В группе ОЖИРЕНИЕ наоборот изменились (уменьшились) медианы, а интерквартильные размахи остались неизменными.

Из рисунка 4.г видим, что медиана площади S наиболее сильно изменилась в группе ОЖИРЕНИЕ, а в группе АИТ значительно увеличились интерквартильные размахи.

На рисунке 4.д в обеих группах произошло значительное изменение (уменьшение) как медиан сдвига центра эллипса относительно начала координат R, так и интерквартильных размахов.

И наконец, на рисунке 4.е мы наблюдаем уменьшение интерквартильных размахов и медиан коэффициента эксцентриситета после лечения в обеих группах.

Размеры групп (количество детей) до и после лечения не менялись, поэтому связывать эти изменения со статистическими погрешностями было бы неправильно. Неизвестно как сказываются наблюдаемые изменения на состоянии больного, хорошо это или нет, потому что достаточной группы здоровых детей для контроля набралось. Но однозначно можно утверждать, что получаемое лечение по разному сказывается на исследуемых группах пациентов, а потому рекомендуется применять дифференцированный подход к составлению курса реабилитационной терапии, учитывая выявленные особенности.

Чтобы ответить на вопрос об эффективности проведенного лечения и значимости наблюдаемых изменений, мы обратились к критерию Вилкоксона [10] для проверки гипотезы об однородности двух выборок. Результаты расчетов с надежностью 0.95 приведены ниже в таблице 2. Знак «+» в таблице означает значимость различий параметра, «-» - отсутствие значимых различий.

Таблица 6. Значимость различий параметров ЭЭГ для разных заболеваний

Параметр	АИТ	Ожирение
α	-	-
a	-	-
	-	+
	-	-
R	+	+
k	+	+

Таблица 6 показывает, что наибольший эффект курс реабилитационной терапии оказывает на группу с заболеванием ожирение. Наиболее информативными показателями являются, сдвиг центра эллипса относительно начала координат и коэффициент эксцентриситета.

Заключение

В ходе выполнения данной работы были исследованы свойства и возможность применения геометрического метода к обработке вызванных потенциалов ЭЭГ. Исследование геометрического метода на модельном сигнале − синусоиде, показало его чувствительность к амплитуде и частоте сигнала, а также к количеству входящих в сигнал гармоник. Также геометрический метод был применен для обработки реальных данных ЭЭГ, в результате чего показал свою способность выявлять отличия в параметрах до и после лечения для различных групп пациентов.

Таким образом, простой, на первый взгляд, метод нелинейной динамики оказывается весьма информативным и чувствительным к изменениям входного сигнала. Метод ФП позволяет оценивать входной сигнал не только качественно (визуально), но и количественно при использовании графического метода анализа и построении вокруг ФП какой либо описывающей фигуры, например, эллипса, как в нашем случае. Таким образом, для врачей открывается еще один способ доказательного вынесения диагноза, а, значит, повышается качество медицинского обслуживания.

Список литературы

1. Зенков Л.Р. Функциональная диагностика нервных болезней. – М.: Медицина, 1991. – 640 с.

2. Хакен Г. Принципы работы головного мозга. М.: Медицина, 2001.

3. Майоров В.В., Мышкин И.Ю. Корреляционная размерность электроэнцефалограммы и ее связь с объемом кратковременной памяти. – Психофизиологический журнал, 1993. - №14. – С. 62-72.

4. Лужнов П.В., Парашин В.Б., Шамкина Л.А. Разработка графического анализа вариабельности сердечного ритма. – Биомедицинские технологии и радиоэлектроника, 2004. - №10. – С. 44-49.

5. Лужнов П.В., Парашин В.Б., Шамкина Л.А. Разработка метода анализа вариабельности сердечного ритма при психофизиологических пробах для детекции эмоционально значимых стимулов. – Биомедицинские технологии и радиоэлектроника, 2005. - №10 – С. 49-56.

6. Меклер А.А. Применение аппарата нелинейного анализа динамических систем для обработки сигналов ЭЭГ. – Актуальные проблемы современной математики: учёные записки, 2004. - №13 – С. 112-140.

7. Давыдов А.В. Сигналы и линейные системы: тематические лекции – Екатеринбург, Научное знание, 2006. – 258 с.

8. Гольденбергер Л.М. Цифровая обработка сигналов. М.: Наука, 1990.

9. Меклер А.А. Обработка ЭЭГ методами фрактального анализа. – Российский физиологический журнал им. И.М.Сеченова, 2004. - №8. – с.77.

10. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для вузов. Изд. 7-е, стер. – М.: Высш. шк., 2000.

Код для цитирования: Скопировать