V Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2013

Определить значение токов во всех ветвях цепи.

Е₁ =30 В; Е₂ =50 В; Е₃=40 В; Е₄ =90 В; Е₅=20 В; Е₆=10 В; R₁=2 Ом; R₂=5 Ом; R₃=3 Ом; R₄=10 Ом; R₅=4 Ом; R₆=1 Ом.

I₁; l₂; l₃; l₄;l₅;l₆=?

Решение

Выбираем на схеме опорный узел, остальные узлы обозначаем цифрами. Обозначим на схеме все токи ветвей и произвольно выбираем их направление. Цепь содержит 4 узла, поэтому задача сводится к решению системы 3-х линейных уравнений относительно U1, U2, U3.

(G₁+G₄+G₆)U₁-G₄U₂-G₆U₃=G₁E₁+G₄E₄+G₆E₆;

-G₄U₁+(G₂+G₄+G₅)U₂-G₅U₃=-G₂E₂-G₄E₄-G₅E₅;

-G₆U₁-G₅U₂+(G₃+G₅+G₆)U₃=G₃E₃+G₅E₅-G₆E₆.

Решим систему матричным способом. Для чего введём матрицы:

A=1.6-0.1-1-0.10.55-0.25-1-0.251.583 U=U1U2U3 B=34-248.333

Исходная система имеет вид: A*U=B

Её решение имеет вид: U=A^-1*B

A^-1 –определим методом присоединённой матрицы.

1) Находим определитель. A=0.667

2) Транспонированная матрица. At=1.6-0.1-1-0.10.55-0.25-1-0.251.583

3) Присоединённая матрица. Av=0.80815-0.40830.575-0.40831.5328-0.50.575-0.50.87

4) Обратная матрица. A-1=1A*Av =1.1930.6030.8490.6032.2630.7380.8490.7381.285

5) Решение задачи имеет вид. U=A-1*B=1.1930.6030.8490.6032.2630.7380.8490.7381.285*34-248.333=33.165-27.6622.862

Теперь используя закон Ома, определяем значения токов ветвей.

I₁ = (E₁-U₁)/R₁= (30-33,18)/2 = -l,59A;

l₂=(E₂+U₂)/R₂=(50-27,67)/5=4,46A;

l₃=(E₃-U₃)/R₃=(40-21,85)/3=6,05A;

l₄=(U₂-U₁+E₄)/R₄=(-27,67-33,18+90)/10 = 2,92 A;

I₅=(U₂-U₃+E₅)/R₅=(-27,67-21,85+20)/4=-7,38 A;

I₆=(U₃-U₁+E₆)/R₆=(21,85-33,18+10)/1 = -1,33A.

Код для цитирования: Скопировать