V Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2013

Значительное число задач анализа, алгебры, теории интегральных уравнений можно представить с единых позиций в виде линейного или нелинейного операторного уравнения вида:

(1)

с оператором A(x), действующим в том или ином пространстве Е. При этом для таких уравнений возникают весьма специфические задачи. В качестве довольно распространенных задач такого типа, например, встречается задача о существовании у таких уравнений решения , обладающего свойством неотрицательности: . Такого рода задачи, вообще, специфичны в задачах экономики, для которых экономический смысл имеют лишь неотрицательные решения (типичный пример – модель Леонтьева межотраслевого баланса).

Поэтому при рассмотрении подобных задач предполагается наличие в пространстве дополнительной структуры–конуса К, с помощью которого в пространстве Е вводится полуупорядоченность: для некоторых пар векторов определено отношение , являющееся аналогом обычного скалярного неравенства: если . От свойств конуса в пространстве Е и оператора А, действующего в этом пространстве зависит существование решения у уравнения (1), а также способ, с помощью которого можно построить приближения к этому решению. Загрязнение окружающей среды – побочный продукт обычной экономической деятельности.

Побочные продукты (как ценные, так и неценные) непосредственно связанны с системой физических взаимодействий, определяющих повседневное функционирование экономической системы. Техническую взаимозависимость между уровнями выпуска желательных и нежелательных продуктов, можно описать в терминах коэффициентов, которые используются для выявления взаимозависимости между всеми обычными отраслями производства и потребления. Поэтому побочные продукты производственной деятельности и потребления следует рассматривать как часть экономической системы. Модель, учитывающая экологический фактор известна как модель Леонтьева-Форда [1]:

Рассмотрим статистическую линейную модель межотраслевой экономики, - модель Леонтьева. В ее основе лежат следующие предположения:

1. в экономической системе производятся, продаются, покупаются, инвестируются n- продуктов;

2. каждая отрасль является «чистой», т.е. производит только один продукт;

3. под производственным процессом в каждой отрасли понимается преобладание некоторого, а возможно и всех типов продуктов в определенном количестве.

При этом соотношение затраченного продукта и выпускаемого находятся в постоянном отношении.

Если для производства единицы i-продукта надо затратить j-продукта, то выпуск x-единиц i-продукта потребует x единиц j-го.

Независимо от масштаба производства удельный выпуск и соотношение затрат представляются const.

При валовом выпуске x затраты i-продукта на все остальное производство составят , тогда «чистый» выпуск должен быть не меньше, чем спрос на соответствующий продукт:

(i=1,2…n), (2)

где - спрос.

(2)- модель Леонтьева межотраслевого баланса [1]. Конечный спрос состоит из конечного потребления экспорта и инвестиций. Однако в модели он представляется заданным и требуется найти такой валовой выпуск для каждой отрасли, которая обеспечит заданный конечный спрос.

Сущность модели Леонтьева состоит в определении валового выпуска отраслей по заданному конечному спросу на основе данных о технологических возможностях [1]. Коэффициенты - называются технологическими, а матрица A=()- технологическая или производственная матрица.

Наряду с моделью Леонтьева рассматривают более общую задачу - модель Леонтьева – Форда. Эта модель имеет вид

(3)

и является моделью производства, в котором: вектор xRn, xявляется вектором валового выпуска полезного продукта; yR^m, y- вектор вредных отходов в окружающей среде, возникающих, в частности, в процессе производства, подлежащих «уничтожению» с целью понижения содержания вредных продуктов до экологически обусловленного заданного уровня; b₂R^m, b₁Rn- вектор чистого выпуска полезного продукта, A₁₁ – (nn)технологическая матрица, т.е. A₁₁x – выражает вектор затрат полезного продукта при валовом выпуске вектора x;A₁₂ – (nm) матрица, такая, что A₁₂y- вектор затрат полезного продукта на уничтожение вредных отходов в «объеме» вектора y;A₂₁ – (mn)матрица такая, что при выпуске валового вектора xполезного продукта в окружающую среду выделяется вектор A₂₁xвредных отходов, A₂₂ – (mm)матрица, такая, что A₂₂y- вектор вредных отходов, дополнительно возникающих при «уничтожении» вектора y вредных отходов.

Теоремы, доказанные Стеценко В.Я. [2], позволяют получать априорные оценки решения уравнения

= + (4)

, 

на основе результатов по ускорению сходимости приближений к решению операторного уравнения [4] и [3].

Литература

1. Леонтьев В.В., Форд Д. // Экономика и математические методы. - 1972. - №3.

2. Стеценко В.Я. Модель Леонтьева – Форда межотраслевого баланса, учитывающая экологический фактор. // Тамбов, XV Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях»,2002,Т 5.- С. 154-157.

3. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. - М.: Наука, 1969. - 455 с.

4. Колодяжная Т.А., Гробова Т.А. Применение теоремы о средних величинах при доказательстве неравенств. – Ставрополь, Научно-инновационные достижения СМС в области физико-математических наук и технических дисциплин.- 52 научно-методическая конференция.- 2007- с. 128-131

Код для цитирования: Скопировать