V Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2013

Теория

Математический аппарат случайных марковских процессов широко используется при моделировании процессов смешивания сыпучих материалов [1,2,3]. Чаще всего используется одномерная цепь, а ее свойством является принадлежность частицы к конечному или бесконечно малому интервалу эйлеровой координаты. В дальнейшем будем считать этот интервал конечным и разобьем смеситель вдоль определяющей оси на m ячеек (рис.1).

Не имея иных сведений о распределении частиц внутри ячеек, будем считать это распределение равномерным (ячейки идеального смешивания). Взятая наугад из наблюдаемой порции частица может принадлежать к одной из m ячеек, причем вероятность того, что она принадлежит к хотя бы одной из ячеек, равна единице. Вероятности принадлежности к конкретным ячейкам в общем случае различны и меняются с течением времени.

Поскольку в процессе участвует большое число частиц, то соответствующая вероятность равна доле частиц, принадлежащих ячейке, а если ячейки символизируют пространственные интервалы, то, по существу, – их относительной концентрации в ячейке. Таким образом, частица может находиться в одной из m ячеек, т. е. свойство принадлежности есть дискретная величина. Весь набор этих дискретных величин образует модельное пространство всевозможных состояний системы. Пусть начальное состояние системы характеризуется набором вероятностей _. Очевидно, что если рассматривается эволюция фиксированной порции частиц, то .

В течение промежутка времени ∆t частицы мигрируют в системе, переходя из одного состояния в другое. Будем считать, что величина ∆t достаточно мала, чтобы в течение одного перехода частицы могли переместиться только в соседние ячейки, но не далее. Эти возможные переходы показаны на рис.1 стрелками. В результате одного перехода вектор состояния изменится и станетS_i^k+1_. Каждый переход характеризуется своей вероятностью р_ij или долей частиц, перешедших из ячейки i в ячейку j за время одного перехода. Если i=j, то р_jj– это вероятность частиц остаться в ячейке. Очевидно, что с ростом ∆t вероятности остаться уменьшаются, а вероятности покинуть ячейку растут. Впоследствии мы будем рассматривать процессы, когда в течение одного временного перехода возможны пространственные переходы и между удаленными друг от друга ячейками, но пока ограничимся процессом, где за малое время возможны переходы только в соседние ячейки – микромасштабное перемешивание. Если вероятности р_ij определены, то переход между двумя последовательными состояниями описывается системой линейных уравнений

Система уравнений (1) может быть записана в компактной и универсальной матричной форме. Набор вероятностей, характеризующих текущее состояние системы, можно представить вектором-строкой размером 1m:

(2)

Очевидно, что в любой момент времени вектор состояния полностью характеризует весь процесс. Если цепь является цепью Маркова, то зависимость между величинами S_k и S_k+1 можно описать следующей матричной формулой:

S_k+1 = S_kР (3)

где Р – матрица переходных вероятностей или матрица переходов, имеющая следующий вид:

(4)

. (4)

В этой матрице j-й столбец состоит из вероятностей перехода из i–го состояния. В общем случае имеются только два ограничения для вероятностей перехода p_ij, которые непосредственно следуют из математической постановки задачи:

, (5)

,где i=1,2,…,m. (6)

Для имитации загрузки ключевого компонента в смеситель на каждом шаге или на определенных шагах периодически проводили следующую операцию: ,

где SD - вектор догрузки. Для того, чтобы регулировать скорость перемещения ключевого компонента вдоль оси смесителя, под воздействием рабочих органов, использовали матрицу перемещений, которая имеет ту же размерность, что и матрица переходных вероятностей, но ее элементы равны либо нулю, либо единице.

Количество нулей от главной диагонали перед единицей в строке говорит о том на сколько ячеек вперед должна сдвигаться смесь конкретной ячейки за один переход. В соответствии с представленной моделью была разработана прикладная программа, описание которой дано в докладе.

Представленные в докладе результаты расчетов показывают, что при одновременном использовании двух матриц (переходных вероятностей и перемещений) возможно обеспечить достаточную независимость между диффузионной и конвективной составляющими процесса смешивания, что позволяет более адекватно учитывать влияние на интенсивность процесса смешивания физико-механических свойств смешиваемых компонентов и параметров смесителя.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Першин В.Ф. Модель процесса смешивания сыпучего материала в поперечном сечении вращающегося барабана/В.Ф.Першин // Порошковая металлургия.- 1986.-№ 10.- С. 1-5.

2. Баранцева Е.А. Процессы смешивания сыпучих материалов: моделирование, оптимизация, расчет / Е.А.Баранцева, В.Е.Мизонов, Ю.В.Хохлова/ - ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет им. В.И.Ленина», Иваново, 2008. – 116 с.

3. Селиванов Ю.Т. Исследование влияния осевого движения на процесс непрерывного смешивания сыпучего материала во вращающемся барабане / Ю.Т.Селиванов, В.Ф.Першин // Известия вузов. Химия и химическая технология.-2003.-Т. 46, вып. 7.-С. 42-45.

Код для цитирования: Скопировать