V Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2013

ДЭ

«Аналитическая геометрия»

Тема

«Прямая на плоскости»

КУЭ

Учебные задания

Знание типов уравнений прямой на плоскости, формул вычисления угла между прямыми и расстояния от точки до прямой, условия параллельности и перпендикулярности прямых и умение использовать их при решении задач

1. Прямая отсекает на оси Oy отрезок b= 3 и имеет угловой коэффициент 2/3. Тогда ее уравнение имеет вид ……

Варианты ответа:

1) 3у – 2х – 9 = 0; 2) у +х – 3 = 0;

3) 3у – 2х + 6 = 0; 4) 2у – 3х – 6 = 0.

2. Прямая проходит через точку М (2; 1) перпендикулярно прямой 2х + 3у + 4 = 0. Тогда общее уравнение этой прямой имеет вид ….

Варианты ответа:

1) 3х – 2у – 4 = 0; 2) 2х + 3у + 11 = 0;

3) 2х + 3у – 7 = 0; 4) 3х – 2у – 4 = 0.

3. Уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых x-y-3=0 и 2x+3y-11=0, перпендикулярно прямой 5x-4y-17=0имеет вид …..

Варианты ответа:

1) 4х + 5у – 21 = 0; 2) 5х – 4у – 16 = 0;

3) 5х – 4у + 16 = 0; 4) 4х + 5у + 21 = 0.

4. Расстояние между прямыми 3x-4y--10=0 и 6x-8y+5=0 равно ……

Варианты ответа:

1) 2,5; 2) 5; 3) 0,25; 4) 1,5.

5. Прямыеm-1x+my-7=0 и mx+2m-1y-9=0 пересекаются в точке, лежащей на оси абсцисс, имеющей координаты …

Варианты ответа:

1) (2; 0); 2) (7; 0); 3) (9; 0); 4) (16; 0)

Краткий обзор учебного материала [3]

Типы уравнений прямой на плоскости

1) y = kx + b – уравнение прямой с угловым коэффициентом;

2) Ax + By + C = 0 – общее уравнение прямой;

3) y – y₀ = k(x – x₀) – уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении;

4) y-y1y2-y1=x-x1x2-x1 – уравнение прямой, проходящей через две точки;

5) xa+yb =1 – уравнение прямой в отрезках;

6) A(x – x₀) + B(y– y₀) = 0 – уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Угол между прямыми на плоскости

tgφ=k2-k11+k1k2

Условия параллельности прямых

k1=k2

Условия перпендикулярности прямых

k1k2=-1

Расстояние от точки до прямой

d=Ax0+By0+CA2+B2

Решение учебных заданий

Графические

модели

Известные и

искомые величины

Причинно-следственные связи

Дано:k=23, b=3.

Найти А, В, С.

y = kx + b→ Ax + By + C = 0,

l:y=23x+3|∙3⇒l:2x-3y+9=0

или l:-2x+3y-9=0.

Дано: x₀ = 2, у₀ = 1,

l₁: 2х + 3у + 4 = 0,

l1⊥l2.

Найти А₂, В₂, С₂.

M0x0;y0∊l2⇒y-y0=k2x-x0;

l1⊥l2⇒k1k2=-1;l1:2x+3y+4=0,

l1:y=-23x-43⇒k1=-23; -23k2=-1,

k2=32; y-1=1,5x-2→3x-2y-4=0.

Дано:

l1:x-y-3=0, l2: 2x+3y-11=0,

l3:5x-4y-17=0,

l3⊥l.

Найти А, В, С.

M0x0;y0∊l⇒y-y0=kx-x0; x-y-3=0 l1,2x+3y-11=0 l2,⇒y=1,x=4,⇒M04;1; l3:5x-4y-17=0⇒l3:y=54x+174;k3=54; l3⊥l⇒k3k=-1⇒k=-1k3 =-45;

l:y-1=-4/5x-4 , l:4x+5y-21=0.

Дано:

l1:3x-4y-10=0, l2:6x-8y+5=0,

l1||l2.

Найти d.

d=A2x0+B2y0+C2A22+B22;

M0x0;y0∊l1⇒3x0-4y0-10=0;

3x0=4y0+10⇒y0=-1;x0=2;

d=6∙2+-8∙-1+562+-82=2,5.

Дано:

l1:m-1x+my--7=0;

l₂: mx + (2m-1)y –

– 9 = 0; M₀(x₀; 0).

Найти x₀.

M₀(x₀; 0) ∊ l₁, M₀(x₀; 0) ∊ l₂; ⇒

⇒m-1x0-7=0 l1,mx0-9=0 l2,⇒

⇒mx0-x0=7,mx0=9,⇒x0=2.